Рассказы пользователей Mathematica

Рассказы пользователей Mathematica

В данном посте публикуются рассказы пользователей и создателей Wolfram Mathematica о том, как они пришли к Mathematica, что делали в ней, свои идеи и планы на будущее, свое отношение к системе, рассказы о том, как она разрабатывалась и разрабатывается.

Если Вы хотите рассказать свою историю, отправьте ее на e-mail: wolfram.mathematica.ru@gmail.com
(к письму приложите также Вашу фотографию и укажите название организации в которой Вы работаете и Вашу должность в ней)

АВТОРЫ РАССКАЗОВ:
Максим Сахаров
Сильва Торосян
Роман Осипов
Алик Клименков
Андрей Макаренко
Леонид Шифрин (скоро)
Всеволод Чупрыгин (скоро)
Иван Трусов (скоро)

Максим Сахаров
сертифицированный инструктор технологий и учебных курсов компании Wolfram Research, технический консультант компании Softline

Одно нелинейное уравнение или как я встретил
Стивена Вольфрама

Май, 2009. Я, студент второго курса кафедры САПР Московского Государственного Технического Университета имени Н. Э. Баумана, в предвкушении очередной летней сессии. Читался нам предмет, который назывался “Основы САПР”, по сути, представлявший из себя ликбез по CAD/CAE-системам. Курс имел уклон в сторону вычислительной математики и лектора, в особенности, интересовала проблема получения достоверно точного решения систем линейных алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений в современных CAE системах. Предмет предполагал экзамен, который можно было получить автоматом, однако получить автомат мне, к моему огорчению, не удалось. Не хватило совсем чуть-чуть. Учить и сдавать предмет мне крайне не хотелось, поэтому я написал лектору электронное письмо в котором поинтересовался, что необходимо сделать для того, чтобы получить дополнительные баллы и, как следствие, экзамен автоматом. После непродолжительной переписки я получил письмо следующего содержания.

“мне нужны 32 верных знака для нелинейного уравнения из второй лабораторной - если получите правильно, тогда можно”

Очевидно, что я сразу ухватился за этот шанс. Не обладая, однако, большими знаниями в программировании, я всячески отгонял от себя мысль о том, что придется писать программу на Си или С++. Ах да, совсем забыл, вот это уравнение.

Ведомый желанием решить поставленную задачу с, как можно, меньшими затратами сил и времени я обратился за помощью в сообщество математиков в социальной сети ВКонтакте. Отзывов на свой просьбу я получил достаточно. Однако один из них произвел на меня особое впечатление. Некто Михаил Гуров представил мне сразу тысячу знаков в решении данного уравнения. На мой вопрос о том, какими средствами и методами он пользовался, я получил хорошо известный мне ответ, что существует множество численных методов которые можно запрограммировать самому и точность решения, в данном случае, будет ограничена лишь мощностью компьютера. А то я не знал...

Но затем он написал еще одно сообщение...

“Если ты не программер,скачай себе Mathematica Wolfram Research 7.0 и радуйся жизни (решает все что угодно!!!).”

Я скачал триал-версию ▸▸▸ данного программного продукта и все изменилось...

Спасибо, Михаил! Я не только успешно решил данное уравнение и получил автомат на экзамене, но и нашел, в некотором роде, свое призвание. Юбилей системы Mathematica я отметил на 10 дней раньше положенного срока, когда произошла моя первая и, надеюсь не последняя, встреча со Стивеном Вольфрамом...

И если вы еще не забыли про то самое уравнение, вот оно - решение с точностью в 1000 знаков после запятой...

закрыть

Block[{prec = 1000}, FindRoot[Exp[30*x]/10^4 + x - 6 == 0, {x, 1}, WorkingPrecision -> 1000, StepMonitor :> If[Precision[x] != prec, prec = Precision[x]; ]]]

Сильва Торосян
cтарший инженер департамента компьютерных наук факультета точных и естественных наук Тбилисского гос. университета им. И. Джавахишвили

Электроный учебник “Численные методы” в Wolfram Mathematica, или с чего всё начиналось.

Моё первое знакомство с системой Mathematica связано с именем моего научного руководителя Заура Мачаидзе, который к конце 2004 года (тогда я была студенткой 4-го курса Тбилисского гос. педагогического университета им. С.-С. Орбелиани) показал мне эту уникальную систему, начиная с вычисления значения числа π до широких графических возможностей. В 2005 году я защитила дипломную работу на тему: “Электронный учебник - Численные методы”, разработанный в системе Mathematica.  Этот электронный учебник включал в себя тестирующую программу по численным методам. Наша цель была показать, что Mathematica не отстаёт от таких языков программирования как Visual Basic и C. Эта разработка заняла III место на республиканской конференции, проведённой академией молодых учёных Грузии.

Разработка этой программы требовала не малого времени и усердия, на что я и моя младшая сестра, в то время тоже студентка физико-математического факультета, посвятили последнии годы студенчества. Нас привлекала простота и ясность самой системы, а особенно её язык программирования, который на наш взгляд, является самым доступным и универсальным. Но несмотря на всё это, сторонников использования системы Mathematica в Грузии почти не было. На сегодняшний день ситуация изменилась, число студентов Тбилисского государственного университета, выбирающих предмет "Возможности системы Mathematica" увеличевается, что меня очень радует.

Ниже я хочу привести один из примеров электронного учебника "Численные методы".

Интерполирование функций

Для функции построить интерполяционный полином Лагранжа.
Построим график этой функции:

закрыть

Plot[1/ArcTan[1 + x^2], {x, -3, 3}, PlotStyle -> {Blue, Thick}, ImageSize -> 600]

Найдём список значений функции по x с шагом 0.6, когда x∈(-3;3):

закрыть

s = Table[{x, 1/ArcTan[1 + x^2]}, {x, -3., 3., 0.6}]

По этим данным построим интерполяционный полином:

закрыть

W = Collect[InterpolatingPolynomial[s, x], x]

Изобразим графики полученного полинома и данной функции:

закрыть

Plot[{W, 1/ArcTan[1 + x^2]}, {x, -3, 3}, PlotStyle -> {{Red, Thick}, {Blue, Thick}}, Filling -> {1 -> {{2}, Green}}, ImageSize -> 600]

Роман Осипов
сертифицированный инструктор технологий и учебных курсов компании Wolfram Research, администратор Русскоязычной поддержки Wolfram Mathematica

Путь от биологии к математике и Mathematica

Мой путь к математике и системе Mathematica был долог, но я очень доволен, что прошел его и иду по нему дальше, так как математика вместе с Mathematica позволяют осуществлять совершенно феноменальные вещи за максимально короткое время с максимальным качеством.

Когда я учился в школе, как бы это странно сейчас не казалось, я не особо любил математику, она казалась мне совершенно непонятной наукой, видимо потому, что школьный учитель не был способен заинтересовать меня ею, показав какие-то красивые вещи и восхитительные приложения математики.

В школе я всерьез увлекался биологией и ходил в Кружок юных натуралистов при Зоологическом музее МГУ им. М. В. Ломоносова ▸▸▸, которым руководил и руководит восхитительный человек и педагог, Дунаев Евгений Анатольевич ▸▸▸. В кружке на протяжении четырех лет мы ездили в разнообразные научные экспедиции от Белого моря до Кавказа и Крыма, изучали зоологию, ботанику, герпетологию, энтомологию и множество других биологических дисциплин, участвовали во множестве олимпиад и соревнований и конечно слушали лекции, как Дунаева Е. А., так и множества других лекторов. При этом цикл лекций в кружке покрывал огромный спектр вопросов, фактически полностью охватывая все занятия на первых двух курсах биологического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Естественно, занимаясь настолько много биологией, я хотел поступить на биофак МГУ и продолжить ею заниматься, но, чтобы поступить туда нужно было сдать вступительный экзамен по математике, так исторически сложилось что он шел первым на биофаке и традиционно был достаточно сложным. Поэтому я пошел на курсы, которые посещал около полугода. Курсы вел замечательный преподаватель, который потрясающе решал задачи, меня поразила тогда математическая логика и четкость, когда каждый шаг строг и обоснован, а также удивительная красота стройного математического доказательства или вывода. Тогда я начал решать много задач и каждый день старался брать самые сложные, как мне казалось, которые находил в книгах, например, вступительных вариантов прошлых лет.

Однако, так получилось, что в это же время меня заинтересовала химия, признаться довольно сильно. А так как у меня была золотая медаль, я решил, что разумно иметь подстраховку МГУ и поступил в МИТХТ (Московский государственный университет тонких химических технологий им. М. В. Ломоносова ▸▸▸). У него экзамены были на пару дней раньше, чем в МГУ и он является одним из ведущих химических ВУЗов России (с точки зрения химической технологии — он первый). Поступив туда, на экзамен в МГУ я шел спокойно, так как во-первых я охладел несколько к биологии, а во вторых уже был по сути студентом.

На вступительном экзамене попался вариант, задачи в котором были знакомы по курсам, подход к каждой из них был известен.

Само собой, задачи этого варианта сейчас не кажутся хоть сколь нибудь сложными, а с помощью Mathematica решаются за секунды:

закрыть

Solve[x^2 + 2 Abs[x] - 3 == 0, x, Reals]

закрыть

FullSimplify@ Solve[Cos[x] - Sqrt[3] Sin[x] == Sqrt[2], x, GeneratedParameters -> (Subscript[k, #] &)]

закрыть

Solve[{Sqrt[x^2 + y^2 - 2 x - 22 y + 122] == 2 Sqrt[37] - Sqrt[x^2 + y^2 + 2 x + 2 y + 2], Log[x + 1, 4] + Log[y, 4] == 0}, {x, y}, Reals]

Решив задачи этого варианта, я сдал работу и со спокойной душой пошел домой. Спустя некоторое время я поехал смотреть результаты экзамена. К своему небольшому разочарованию я увидел оценку “4”. Это было удивительно, так как на экзамене я помог соседям справа и слева решить пару задач и в списке у них значилась оценка “5”. Посмотреть работу не удалось, так как на все 600 поступающих дали порядка 15 минут времени на апелляции. Узнав к тому же что те, кому я помог, были “знакомы” с приемной комиссией, я понял окончательно, что биофак это не мое. Я решил заниматься химией.

Все лето я решал огромное количество задач по математике со всевозможных олимпиад и вступительных экзаменов, это было увлекательно и происходило видимо отчасти еще и потому, что мое достоинство было несколько задето тем экзаменом. Также я читал и химическую литературу. И, параллельно, начал работать в моем первом пакете, как бы сейчас это не было странно, это был Mathcad. В нем я порешывал задачи, строил графики, учился программировать.

В сентябре начались занятия в МИТХТ и, само собой, было очень много химии. Химия вначале была неорганическая и наверно именно это сделало свое дело: я перестал видеть логику в химии, так как в неорганической химии крайне важно помнить огромное количество реакций и при разных условиях даже похожие вещества взаимодействуют с одним и тем же третьим веществом по-разному.

К счастью, мои успехи в математике не остались не замеченными в ВУЗе и меня пригласили на втором курсе перевестись в группу, которую учили по специальности “Прикладная математика”, открытую великим ученым и преподавателем, Карташовым Эдуардом Михайловичем ▸▸▸ за год до моего поступления.

Я перевелся и начал изучать математику уже серьезно.

Параллельно я продолжал решать все больше задач в Mathcad и на языках программирования Visual Basic (на нем написал например программу для обработки результатов физико-химического эксперимента длиной порядка 1500 строк), С, Lisp, Prolog.

Всегда при решении задач я чувствовал то, что любому из этих языков не хватает логики, красоты, возможностей, продуманности, изящности.

Однажды, мне потребовалось следующее:

нужно было взять две точки на плоскости и построить половину окружности, диаметром которой служит отрезок, соединяющий эти две точки.

Я реализовал эту задачу в Mathcad и в целом был доволен результатом (см. принтскрин документа Mathcad с решением этой задачи ниже). Это была одна из простейших программ, что я тогда писал в нем и то, как она выглядела, меня не смутило. Но, в душе сидело чувство, что так это не должно решаться. Все должно быть просто и изящно, точно так как все выглядит в величайшей науке — математике.

Однажды, в поисках нового математического софта для себя я встретил название “Wolfram Mathematica”. Подумал, что стоит посмотреть. Когда я запустил эту систему, сначала она показалась мне не особо понятной, так как я привык к другому, плохому, стилю программирования. Но, постепенно я привык и втянулся, так как встроенная документация Documentation Center ▸▸▸ была потрясающе подробной, понятной, логичной, структурированной и она была насыщена реально интересными примерами, чего я не встречал ни у Mathcad, ни у Maple, ни у Matlab. При этом меня поразил дизайн системы и дизайн сайтов компании Wolfram Research ▸▸▸.

После первого знакомства с системой, я решил попробовать написать в ней программу, которая решает туже проблему, что и программа Mathcad ранее.

Сразу бросилось в глаза, что графика в Mathematica векторная и выглядит намного качественее, чем в остальных пакетах. Еще было все что нужно: функция Circle (для построения произвольной окружности или ее дуги), Point (точка на плоскости или в пространстве), а также все необходимые настройки их внешнего вида и функции для поиска расстояний между точками, решения уравнений и пр.

Тогда и был реализован код для решения задачи, который вы видите ниже:

закрыть

{p0, p1} = {{1, 2}, {12/10, 25/10}}; center = Mean[{p0, p1}]; R = Norm[p0 - p1]/2; angle0 = Reduce[{{Cos[a], Sin[a]} == (R^-1 (p0 - center)), -Pi <= a < Pi}, a][[2]]; Graphics[{{Dashed, Thick, Circle[center, R, {angle0, angle0 + Pi}]}, AbsolutePointSize[8], {Red, Point[p0]}, {Blue, Point[p1]}, {Yellow, Point[center]}}, Axes -> True, PlotRange -> {{0.5, 1.5}, {1.5, 3}}, ImageSize -> 300, AspectRatio -> Automatic]

Что удивило меня еще больше, так это то, что эту статическую картинку можно легко переделать в динамический объект с помощью функции Manipulate:

закрыть

Manipulate[ If[x0 == x1 && y0 == y1, "точки совпадают", {p0, p1} = {{x0, y0}, {x1, y1}}; center = Mean[{p0, p1}]; R = Norm[p0 - p1]/2; angle0 = Reduce[{{Cos[a], Sin[a]} == (R^-1 (p0 - center)), -Pi <= a < Pi}, a][[2]]; Graphics[{{Dashed, Thick, Circle[center, R, {angle0, angle0 + Pi}]}, AbsolutePointSize[8], {Red, Point[p0]}, {Blue, Point[p1]}, {Yellow, Point[center]}}, Axes -> True, PlotRange -> 3.2, ImageSize -> 400]], {{x0, 5/2, "\!\(\*SubscriptBox[\(x\), \(0\)]\):"}, -3, 3, 1/50}, {{y0, 4/5, "\!\(\*SubscriptBox[\(y\), \(0\)]\):"}, -3, 3, 1/50}, {{x1, -2, "\!\(\*SubscriptBox[\(x\), \(1\)]\):"}, -3, 3, 1/50}, {{y1, -2, "\!\(\*SubscriptBox[\(y\), \(1\)]\):"}, -3, 3, 1/50}, ContentSize -> {450, 450}, Alignment -> {Center, Center}, TrackedSymbols -> {x0, y0, x1, y1}]

Как только я сделал это, я понял, что Mathematica это именно то, что я так долго искал. То, что мне нужно было. И с этого момента все задачи я стал решать именно в ней.

Чуть позднее у меня появилось желание объединить вместе всех пользователей системы Mathematica и на сайте ВКонтакте я нашел группу “Wolfram Mathematica” в которой на тот момент (примерно июнь 2011 г.) было около 80 человек. Сообществом руководил Александр Исаков ▸▸▸, я попросил его добавить меня в администраторы, так как к тому времени я уже достаточно давно отвечал на вопросы пользователей о Mathematica и у меня были далеко идущие планы по развитию сообщества. Александр любезно согласился и с того момента я стал делать все, чтобы сообщество росло, а Mathematica становилась популярнее с каждым днем. Благодаря этим усилиям, сообщество выросло уже более чем в 15 раз и дошло до 1400 чел.

Параллельно я пытался придать ему официальный статус и начал переписку об этом с Галиной Ильдаровной Михалкиной ▸▸▸, которая очень помогла мне в этом, а также в том, чтобы первому в Восточной Европе получить статус сертифицированного инструктора ▸▸▸. Благодаря ей Русскоязычная поддержка стала официальной и у меня появились возможности большого профессионального роста. Я не перестаю удивляться, насколько много она делает для продвижения Wolfram в СНГ и ее работа достойна самого глубокого уважения и благодарности.

Постепенно, получив статус инструктора, у меня появилась возможность ездить по России и другим странам бывшего СССР, общаться с пользователями системы и показывать им и всем желающим насколько Mathematica и другие продукты Wolfram Research мощные инструменты, позволяющие делать если не совсем все, то уж практически все, точно — от поиска численного решения сингулярных интегральных уравнений до Web API ВКонтакте ▸▸▸.

Теперь уже Русскоязычная поддержка стала достаточно крупным и динамически развивающимся объектом и я этому крайне рад.

Призываю всех желающих вступать в сообщество поддержки ▸▸▸, работать в самой мощной и универсальной вычислительной системе Мира — системе Mathematica ▸▸▸, помогать новым пользователям в их вопросах, становиться сертифицированными инструкторами Wolfram Research (для этого напишите письмо Галине Ильдаровне на адрес galinam@wolfram.com), писать посты для блогов на интересующие вас темы (для этого напишите письмо мне на адрес wolfram.mathematica.ru@gmail.com) и двигаться только вперед!

Алик Клименков
студент IV курса механико-математического факультета КНУ им. Т. Г. Шевченко

Курсовая работа и хороший человек

Мое знакомство с Mathematica произошло в конце весны 2011 года. Это был конец моего II курса в университете и, как полагается, всем студентам дали курсовые работы, которые нужно было выполнить до конца учебного года. К слову сказать, все задания выдали еще в середине зимы, сразу после каникул, но, как и большинство обычных студентов, особо никто не торопился их выполнять. Каждая курсовая работа содержала в себе задачу по аналитической механике — была дана система из нескольких тел, и нужно было определить их движение по заданным параметрам и начальным условиям. Решение задачи сводилось к составлению уравнений Лагранжа второго рода с последующим их решением. Но в то время я не особо понимал, что нужно делать, и, когда сроки сдачи начали поджимать, я не нашел способа умнее, чем попросить у сотрудника кафедры готовую работу с прошлого года. В работе было коротко показано, как выводить уравнения Лагранжа и в конце приводился код численного их решения в Mathematica. Если вывод уравнений с горем пополам еще можно было осилить, то решение уравнений вообще представляло собой один большой знак вопроса, потому что мой опыт программирования был скуден. В работе, которую мне дали, система была немного другой, чем у меня и, следовательно, я должен был переписывать код под свой вариант. Код программы казался мне ужасным, огромным и непонятным. Естественно, я не захотел в нем разбираться. Точно так же обстояло и дело с моим одногруппником, но, в отличие от меня, он все же старался писать код по аналогии с решенной задачей. Но, к сожалению, у него ничего не вышло. Он пошел дальше и стал искать в интернете помощи и нашел форум Русскоязычной поддержки Wolfram Mathematica ▸▸▸, администратором которого является Роман Осипов. Там он задал вопрос такого содержания:

Теперь, с опытом, я могу лишь посмеяться над этим вопросом. Сразу видно, что человек поленился и не пытался разобраться с синтаксисом программы. Но самое интересное не в этом, а в том, что Роман ответил на этот вопрос. И причем не просто ответил, а все красиво разложил по полочкам и написал правильный, работающий код! То, что человек разбирается в чужих задачах и совершенно безвозмездно дает решение — это, несомненно, меня зацепило, потому что я догадывался, что значит делать что-то для других.

Но, несмотря на это, я все же переписывал код с форума, переделывая его под свою задачу. После того, как я удачно сдал курсовую работу, я на время позабыл о Mathematica, но позже я узнал, что здесь можно вычислять разнообразные интегралы, строить графики, решать математические задачи, но самое главное, что код, который выполняет все эти действия, легок для понимания. Сейчас я с уверенностью могу сказать, что основной опыт программирования я получил именно в Mathematica.

P. S. Хочу пожелать Русскоязычной поддержке и лично Роману Осипову терпения, развития и плодотворности. Пусть не каждый человек, который задал вопрос, оценит ответ по достоинству, но все же я благодарен Вам и уверен, что труд Ваш не напрасен.

Макаренко Андрей
руководитель научно-исследовательской группы “Конструктивная Кибернетика”

История освоения Wolfram Mathematica, универсальной и мощной платформы автоматизации интеллектуального труда

Введение

Этот пост, как в общем-то понятно из его названия, про то, как я и мои коллеги осваивали программу Mathematica, и что из этого в итоге вышло. Мотивацией к написанию настоящей заметки послужило три, в общем-то малосвязанных друг с другом, момента.

Во-первых, 02 июля 2013 года, наша научно-исследовательская группа объявила о смене технической политики в области математического моделирования и высокопроизводительных вычислений (подробнее...). И этот пост, в принципе, иллюстрирует и вполне объясняет  принятое нами решение, которое при поверхностном взгляде может выглядеть как сильное ограничение.

Во-вторых, 23 июня 2013 года, исполнилось ровно 25 лет постине удивительной программе Wolfram Mathematica. Наше краткое поздравление доступно по ссылке, а настоящую заметку – можно считать его расширенной версией.

В-третьих, в блоге Российского сообщества пользователей системы Mathematica появился минипроект: “Рассказы пользователей Mathematica”. После ознакомления с ним, подумалось, что наша нетривиальная и многоходовая история освоения Wolfram Mathematica, возможно будет интересна читателям и может быть кого-нибудь подвигнет на систематическое изучение и применение этой многогранной и мощной программы.

Данный пост практически не содержит кода и математики и совсем не содержит решения конкретных задач. И причин тому две. Во-первых, заметка и так уже получилась по графомански неприлично объёмной, но как говорится: “из песни слов не выкинешь”. Во-вторых, назначение у данного поста иное, нежели  технические подробности, он о пути и идеологии.

Здесь необходимо отметить, что все высказывания и мысли об ограничениях/достоинствах тех или иных программ и/или технологий, приведённые в данной заметке ниже – это есть субъективное мнение её автора.

Этапы освоения Wolfram Mathematica

Путь освоения программы Wolfram Mathematica, как можно будет увидеть ниже, у меня был достаточно извилист и в чём-то тернист, и в нём явно прослеживается несколько основных этапов. Эти вехи кратко представлены на интерактивной диаграмме:

закрыть

Deploy@Panel@ DynamicModule[{ind, XCoordYear, YearOpacity, Years = {2000, 2006, 2008, 2009, 2010, 2012}, Abstr = {"Первое знакомство", "Первая попытка применения", "Редкие случаи применения", "Вспомогательный инструмент", "Основной инструмент", "Главный инструмент"}}, XCoordYear := Dynamic[520 (Years[[ind]] - 2000)/12 + 30]; Grid[{{Row[{Text@Style["Версии Wolfram Mathematica", Red, Large]}, ImageMargins -> 6]}, {RadioButtonBar[ Dynamic@ind, {1 -> "4", 2 -> "5.2", 3 -> "6", 4 -> "7", 5 -> "8", 6 -> "9"}, LabelStyle -> 14]}, {Graphics[{{Gray, Thick, Line[{{0, 23}, {1200, 23}}]}}, ImageSize -> {600, 25}, PlotRegion -> {{0, 1}, {0, 1}}, PlotRangeClipping -> True, ImageMargins -> 0, ImagePadding -> None, PlotRangePadding -> None]}, {Text[ Style[Dynamic@(ToString@Abstr[[ind]]), Large, Darker@Green, TextAlignment -> Left]]}, {}, {Graphics[{{White, Rectangle[{0, 0}, {600, 50}]}, {Arrow[{{10, 20}, {590, 20}}]}, {Red, Disk[{XCoordYear, 20}, 10]}, {Blue, Text[Style[Dynamic@(ToString@Years[[ind]] <> " год"), Medium], {XCoordYear, 40}]}}, ImageSize -> {600, 50}, PlotRegion -> {{0, 1}, {0, 1}}, PlotRangeClipping -> True, ImageMargins -> 0, ImagePadding -> None, PlotRangePadding -> None]}}]]

Ну а теперь чуть подробнее о каждом из этапов.

2000 г. Версия 4. Первое знакомство.

Да, именно c 4-й версии Wolfram Mathematica началось моё знакомство с этим программным продуктом. Первоначально Mathematica воспринял как систему компьютерной алгебры, но в тоже время и почувствовал мощь и скрытый потенциал программы. В учебной и научной деятельности не применял. Причины этого были разные.

С одной стороны уже достаточно хорошо знал и активно применял для численных вычислений MathCAD. В тех случаях, когда его ресурсов не хватало, расчёты делал в собственных программах, написанных на языке С/C++ с привлечением ряда библиотек численного анализа. С другой стороны, для аналитических расчётов вполне хватало карандаша, ластика и бумаги. Информацию при этом черпал из многочисленных справочников и монографий (преимущественно в печатном виде).

Таким образом, особой потребности в изучении этой сложной и непонятной программы, как тогда казалось (особенно после символьно-графического интерфейса MathCAD) – я не испытывал. Но два слова: Wolfram и Mathematica – в глубинах памяти засели.

2006 г. Версия 5.2. Первая попытка применения.

Прошло 6 лет. За это время мои запросы к вычислительным инструментам выросли, но к версии 5.2 выросла и сама программа Mathematica. Тем не менее, попытка сразу написать на ней объёмный код для численных расчётов оказалась неудачной. Неконтролируемое потребление оперативной памяти (а её на компьютере тогда было существенно меньше 4-х ГБ) и плохая устойчивость кода свели на нет все усилия. Отрицательную роль конечно сыграло и отсутствие навыков программирования на языке Mathematica, а также отсутствие квалифицированной техподдержки в “шаговой” доступности (не встретился нам тогда человек, по знаниям и отзывчивости равный Роману Осипову). Вновь выручил язык С и сторонние библиотеки. А Mathematica была отложена до лучших времён, с мыслью, что Стивен Вольфрам обязательно будет продолжать её улучшать. Но всё чаще стало приходить понимание, что для аналитических математических расчётов карандаша, ластика и бумаги уже хватает не всегда...

2008 г. Версия 6. Редкие случаи применения.

Именно 6-я версия Mathematica стала инструментом, который начал сильно выручать со сложными аналитическими расчётами (и порой не столько сложными, сколько утомительными). Причём выбор пал почему-то не Maple, видимо всё-таки версия 4 Mathematica сделала своё дело... Правда на данном этапе программа использовалась исключительно в режиме последовательного диалога (этакого “умного калькулятора”):

Вычислить производную :

закрыть

u[\[Gamma]_] := ( r Cos[\[Gamma]])/Sqrt[\[Lambda] + r^2]; \[Tau][\[Gamma]_] := ArcCos[u[\[Gamma]]]/( a Sqrt[\[Lambda] + r^2] Sqrt[1 - u[\[Gamma]]^2]); FullSimplify@ D[\[Tau][\[Gamma]], \[Gamma]]

Решить дифференциальное уравнение:

закрыть

sol6 = DSolve[x''[t] == x[t]^2 + 1, x[t], t]

Решить систему алгебраических уравнений:

закрыть

Short@Solve[{2 x^2 + 4 y^3 - 1 == 0 && x^2 + y^2 == 0}, {x, y}]

Взять неопределённый интеграл:

закрыть

FullSimplify@\[Integral](r^2 (\[Lambda] + r^2 + b)^3)/ Sqrt[\[Lambda] + r^2] \[DifferentialD]r

Честно говоря, скорость и лёгкость, с которой Mathematica “щёлкала” приведённые выше примеры – завораживала и притягивала. Тем не менее, использовать программу шире, нежели продвинутый калькулятор, не выходило, видимо не пришло ещё её время. Поэтому простенькие численные расчёты всё также делал на MathCAD, а сложные и ресурсоёмкие – всё также писал на языке С/C++. К тому времени освоил технологии SIMD и OpenMP – программы обрели нитевидный параллелизм на уровне ядер процессора, и жизнь сразу наладилась, но не надолго.

2009 г. Версия 7. Вспомогательный инструмент.

В 2009 году случился переломный момент:  возможностей MathCAD, даже для простеньких вычислений, резко стало не хватать, и остро встал вопрос на что мигрировать: Maple, MatLAB, Mathematica, что-то иное. Здесь стоит оговориться, что значит: возможностей стало не хватать. Для производительной и комфортной работы очень хотелось следующих вещей:

Интеграция сильной символьной математики и сильных численных методов в рамках одной программы, одного документа;

Сокращение “зоопарка” программ для сложной визуализации, статистической обработки, анализа графов и т.п. задач;

Возможность гибкой и глубокой настройки внешнего вида графиков и диаграмм для задач когнитивной визуализации;

Прозрачный экспорт математических выражений в нотацию LaTeX для документирования и публикации;

Прозрачный экспорт математических выражений в нотацию языка C при написании программ под HPC кластеры.

Ряд малораспространённых, но интересных программ, а также полуживые Open source решения были отвергнуты сразу. Нужна была масштабируемая платформа с ясным будущим.

Maple был отвергнут из-за своей нестабильности и ограниченности (при решении тех задач, которые нам требовались). Хотя, справедливости ради, стоит отметить, что в то время Maple существенно опережал другие универсальные математические пакеты в вопросах решения дифференциальных уравнений и визуализации их фазовых портретов.

MatLAB проходил по большинству формальных требований, правда символьные вычисления были слабоваты, и интерфейс рабочей области (области вычислений) вызвал противоречивые чувства: неинтуитивный ввод команд, нагромождение окон,  и т.п. моменты явно шли ему не в плюс.

Оставалась Mathematica, удовлетворяя и по формальным требованиям, и по интерфейсу рабочей области, который некоторые из моих коллег охарактеризовали как элегантный. На этом муки выбора прекратились. И появилась мотивация. Началось более-менее систематическое изучение синтаксиса и семантики конструкций языка Wolfram Mathematica. В самом начале было трудно, сильно трудно, но здорово выручила книга: [Дьяконов В.П. Mathematica 5/6/7. Полное руководство]. Правда она очень быстро потеряла актуальность, и основное место источника информации занял документационный центр.

Mathematica стала вспомогательным инструментом для численных расчётов – весь необходимый код, ранее созданный в MathCAD начал переноситься в эту среду. Первые программы писались практически исключительно в процедурном стиле (проекция  мышления от С/С++ и MathCAD):

Ремарка. Кое где в очень старом коде, который приходится использовать повторно, я всё ещё нахожу монстров в виде 5-6-ти вложенных циклов и/или операторов IF THEN ELSE. Естественно, эти места безжалостно рефакторятся, бесплатно давая 2x-13x кратный прирост производительности, придавая коду строгий и лаконичный вид.

Примерно в это же время в моей научной деятельности появились тяжёлые вычислительные задачи, требующие для своей реализации MPI кластеры. Эти задачи конечно программировались на языке C/C++, но макетирование и отладка вычислительных алгоритмов велись на Mathematica.

Большинство аналитических расчётов делалось уже в Mathematica, но всё также в режиме последовательного диалога (на уровне изолированных выражений и операций). При этом  отдельные задачи мы стали оформлять в виде цельных ноутбуков, фактически документируя идеи, ход принятия решений, доказательства утверждений, или разработку алгоритмов и процессы вычислений.

Отдельное большое направление применения Mathematica – это  когнитивная визуализация результатов расчётов и оформление иллюстраций для публикаций, отчётов, презентаций.

Mathematica   стала хорошим помощником. Правда очень сильно не хватало статистических функций и критериев проверки гипотез, функций по вейвлет-анализу, а также ряда специальных возможностей: подгрузки собственных функций и библиотек созданных на языке C/C++; запуск внешних приложений; компилирование функций в С платформу и т.п. фишек.

2010 г. Версия 8. Основной инструмент.

Выход 8-й версии Mathematica ознаменовал собою прорыв. Интерфейс стал стабилен, а сообщения об ошибках ввода и синтаксиса – весьма разнообразными и информативными. Вычислительное ядро прогнозируемо потребляло оперативную память, время исполнения программ было ожидаемо и приемлемо.

Для улучшения наших навыков программирования, и, возможно, спасения своих нервных клеток, наши зарубежные  партнёры посоветовали (и дали почитать, за что им большая благодарность)  книгу   [D.B. Wagner, Power programming with Mathematica], после её прочтения “по диагонали” код немного выправился и преобразился:

После книги D.B. Wagnera и нескольких месяцев упражнений, с десятками “подходов к снаряду”, из кода исчезли монстры процедурного стиля, а сам стиль остался в самом минималистичном виде. Т.е. процедурный стиль остался в трёх местах:

где он действительно необходим (в том числе по условию исходной задачи);

где избавление от него занимает неоправданно много времени, а код нужно просто запустить, чтобы опробовать идею;

в весьма запутанных случаях, где у программиста всё ещё не хватает квалификации и навыков функционального программирования и программирования в терминах Rules & Patterns. В борьбе с этим досадным моментом весьма помогает деятельность Леонида Шифрина и хороший форум для сложных и простых вопросов mathematica.stackexchange.com.

Ремарка. Здесь необходимо отметить, что благодаря усилиям сообщества ВКонтакте “Wolfram Mathematica | Русскоязычная поддержка” и лично Романа Осипова, замечательная книга D.B. Wagnera, стала доступна в электронном виде (см. ссылку).

Переход к функциональному стилю давался нелегко. И основная трудность – это не освоение синтаксиса языка Wolfram, а именно формирование алгоритмического мышления в терминах: Map, Thread, Apply, Rules, Pattern, вместо конструкций for, while, if. Возможно конкретно в этом и заключается ореол таинственности и закрытости Wolfram Mathematica для изучения, при поверхностном взгляде на неё людей, выученных на парадигме языков программирования Fortran, С, Pascal, Basic и им подобных.

Взрывной рост возможностей Wolfram Mathematica, как раз совпал с взрывным ростом наших потребностей: HPC GPGPU CUDA, Data Mining, Data Science, Graph Analysis, Image Analysis, Text Analytics, Nonlinear Dynamic, Big Data. Все сильные ограничения 7-й версии, в 8-й были сняты. Фактически, функционал программы синхронизовался с задачами нашей научно-исследовательской группы (вполне возможно, что и наоборот...).

Mathematica стала применяться для достаточно сложных и ресурсоёмких численных расчётов. К программированию на C/C++ обращались только в самых экстремальных случаях, тем более, что наши зарубежные партнёры предоставляли доступ к GridMathematica кластеру. В общем дело пошло, но мы очень быстро вновь упёрлись в ограничение. Точнее неудобство Mathematica, как среды для разработки и отладки объёмного, алгоритмически насыщенного кода. Но выход был найден практически моментально – это продукт Wolfram WorkBench.

А как же аналитика? Практически все аналитические расчёты были переведены на Wolfram Mathematica, причём глубина использования возможностей символьных вычислений этой программы резко возросла:

(i) многоэтапная обработка символьных выражений с ветвлением операций (путей обработки), как в простеньком иллюстративном примере:

закрыть

Header = {Exp, Log, ArcTan}; Sol = Solve[#[x] == \[Pi]/4, x, Reals] & /@ Header

закрыть

Xeff = Map[Which[# < 1, Abs@#, # > 1, #^2, # == 1, 0] &, x /. Sol, {-1}]

(ii) а также доказательство некоторых утверждений полным перебором вариантов; машинный синтез моделей (формул) по заданным критериям; и решение массы других задач.

2012 г. Версия 9. Главный инструмент.

И вот в конце 2012 года вышла 9-ка. Интеграция с языком R, поддержка цепей Маркова, расширенная поддержка графов – сняла массу ограничений по статистике и по Machine Learning.

Истинная 64-х битная платформа:

закрыть

Needs["Developer`"]; $MaxMachineInteger === 2^(64 - 1) - 1

позволила формировать и обрабатывать компактные массивы, содержащие свыше 4-х млрд. элементов.

Расширенный набор Web Operations обеспечивал прямой доступ к данным из среды социальных медиа, существенно ускоряя решение задач класса DataScience.

Расширение возможностей по численному решению дифференциальных уравнений и визуализации их аттракторов, свело на нет воспоминания о возможностях Maple в этой сфере.

Поддержка Image3D и расширенный функционал для работы с изображениями – это просто находка для наших исследований в области приложения DataMining к биомедицинским проблемам.

Система Wolfram Mathematica 9 – стала нашим главным инструментом решения практически всех без исключения научных задач, как прикладных, так и фундаментальных. Объём .m кода создаваемого в Wolfram WorkBench стал стремительно расти.

Заключение

Итак, я надеюсь, что данный пост позволил читателю получить достаточно цельное представление о том, какими шагами мы двигались на этапе освоения постине удивительной программы Wolfram Mathematica. Кроме того, я также надеюсь, что из данного поста стали понятны причины практически “монопольной” ориентации нашей исследовательской группы на эту универсальную и мощную платформу автоматизации интеллектуального труда.

В качестве небольшого отступления. Мотивация к постоянному изучению Wolfram Mathematica – это эволюция, причём как задач, так и самой программы. Синергия этого процесса порождает знание.

закрыть

Manipulate[RArea = 1.5 Norm@Most@CoordStep[[step + 1]]; Show[{Graphics3D[{Arrow[{{0, 0, -1}, {0, 0, 10}}], {Arrowheads@0.03, Arrow[{{-RArea, 0, Last@CoordStep[[1]] - 0.1}, {RArea, 0, Last@CoordStep[[1]] - 0.1}}]}, {Arrowheads@0.03, Arrow[{{0, -RArea, Last@CoordStep[[1]] - 0.1}, {0, RArea, Last@CoordStep[[1]] - 0.1}}]}, {Red, Opacity[0.15], EdgeForm[Green], Cylinder[{{0, 0, Last@CoordStep[[1]] - 0.1}, {0, 0, Last@CoordStep[[step + 1]] + 0.1}}, 1.1 Norm@Most@CoordStep[[step + 1]]]}, {Red, Text[Style["Эволюция", FontSize -> 14], {0, 0, 10.1}, {-1, 0}]}, {Line[{{RArea/2, RArea/2, (Last@CoordStep[[1]] + Last@CoordStep[[step + 1]])/ 2}, {2/3 RArea, 2/3 RArea, (Last@CoordStep[[1]] + Last@CoordStep[[step + 1]])/2}}]}, {Red, Text[Style["Объ Qм знания", FontSize -> 14], {2/3 RArea, 2/3 RArea, (Last@CoordStep[[1]] + Last@CoordStep[[step + 1]])/ 2}, {-1, 1}]}, Sphere[CoordStep[[1 ;; step + 1]], 0.2], {Darker[Pink], Text @@@ (TextExpres[[1 ;; step + 1]])}}, ViewVertical -> {-1, -1, 1}, SphericalRegion -> True, Boxed -> False], ParametricPlot3D[SpiralFunct[t], {t, 0, step + 0.01}]}, ImageSize -> 590, ImagePadding -> 10, PlotRegion -> {{-0.3, 1.25}, {-0.25, 1.2}}], {{step, 0, "Шаг"}, 0, QuantityStep - 1, 1}, Initialization :> {QuantityStep = 21, SpiralFunct[ t_] := (t/5 + 1) {Sin[2 \[Pi] t/4], Cos[2 \[Pi] t/4], 1.5}, CoordStep = Array[SpiralFunct[#] &, QuantityStep + 1, {0, QuantityStep}], Action = Style[#, FontSize -> 12] & /@ {"Задача", "Изучаем WM", "Решаем", "Анализируем"}, TextExpres = AppendTo[Reverse@#, {-1, 0}] & /@ Partition[Riffle[1.05 CoordStep, Action], 2]}, SaveDefinitions -> True]

Здесь уместна аналогия. Как известно из истории, первые ЭВМ программировались в машинных кодах, что было достаточно сложной и трудоёмкой задачей. Сильный, качественный прорыв произошёл благодаря разработке первого высокоуровневого языка программирования Фортран в 1954-57 гг. С этого момента взаимодействие человека и компьютера вышло на существенно иной уровень. Возможно сейчас мы наблюдаем следующий виток спирали, в связи с созданием и развитием языка Wolfram.

Блог принадлежит “Русскоязычной поддержке Wolfram Mathematica"©
При любом использовании материалов блога, ссылка на блог обязательна.
Создано с помощью Wolfram Mathematica 9